\begin{theorem}[][Wigner定理]
    \textbf{Wigner's theorem}\quad 如果一个使体系在物理上保持不变的变换将体系的每个态矢
    $|\psi\rangle$变为$\left|\psi^{\prime}\right\rangle$,则总可以调节相位,
    使得对所有$|\psi\rangle$,

    \begin{equation*}
        \left|\psi^{\prime}\right\rangle=U|\psi\rangle, \ \mathrm{or}\ \left|\psi^{\prime}\right\rangle=\pi|\psi\rangle
    \end{equation*}

    其中, $U , \pi$分别是某个幺正或反幺正算符.
\end{theorem}

\begin{proof}
    设有一变换使正交归一基
    $\left\{\left|\alpha_n\right\rangle\right\} \rightarrow\left\{\left|\alpha_n^{\prime}\right\rangle\right\}$ ，
    并保证对任意两个态矢均有

    \begin{equation}
        |\langle a \mid b\rangle|=\left|\left\langle a^{\prime} \mid b^{\prime}\right\rangle\right|
    \end{equation}

    于是取$|\varphi\rangle$和$|\psi\rangle$如下:

    |\begin{equation*}
        \varphi\rangle=\left|\alpha_1\right\rangle+\left|\alpha_m\right\rangle, \quad|\psi\rangle=\sum_n c_n\left|\alpha_n\right\rangle
    \end{equation*}

    变换后成为

    \begin{equation*}
        \left|\varphi^{\prime}\right\rangle=\left|\alpha_1^{\prime}\right\rangle+\left|\alpha_m^{\prime}\right\rangle, \quad\left|\psi^{\prime}\right\rangle=\sum_n c_n^{\prime}\left|\alpha_n^{\prime}\right\rangle
    \end{equation*}

    按规定应有
    \begin{equation*}
        |\langle\varphi \mid \psi\rangle|=\left|\left\langle\varphi^{\prime} \mid \psi^{\prime}\right\rangle\right|
    \end{equation*}

    这导致

    \begin{equation*}
        \left|c_1+c_m\right|=\left|c_1^{\prime}+c_m^{\prime}\right|
    \end{equation*}

    在不影响物理内容情况下,可以选$\left|\psi^{\prime}\right\rangle$的相位,
    使得$c_1^{\prime}=c_1$.接着,展开这个绝对值等式,可得

    \begin{equation*}
        c_1c_m^*+c_1^* c_m=c_1c_m^{\prime \prime}+c_1^* c_m^{\prime}
    \end{equation*}


    乘以$c_m^{\prime}$ ，并注意$\left|c_m^{\prime}\right|^2=\left|c_m\right|^2$ ，得

    \begin{equation*}
        c_1^{\prime} c_m^{\prime2}-c_m^{\prime}\left(c_1c_m^*+c_1^{\prime} c_m\right)+c_1\left|c_m\right|^2=0
    \end{equation*}

    解此二次方程，得

    \begin{equation*}
        c_m^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}
            c_m \\
            \frac{c_1}{c_1^*} c_m^*
        \end{array}\right.
    \end{equation*}


    不影响物理内容,还可以进一步选定$|\psi\rangle$的相位,使$c_1$为实数,于是得到

    \begin{equation*}
        c_m^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}
            c_m \\
            c_m^*
        \end{array}\right.
    \end{equation*}

    若为前者,变换是幺正的;若为后者,
    \begin{equation*}
        \left|\psi^{\prime}\right\rangle=\sum_n c_n^*\left|\alpha_n^{\prime}\right\rangle
    \end{equation*}
    变换是反幺正的.
\end{proof}

\begin{enumerate}
    \item "使体系在物理上保持不变"的变换均称为体系的对称变换.其含义是这样一种变换,它保持体系的全部可观测概率、
          全部力学量的期望值不变.一句话,凡有物理意义的、可在实验上观测到的量都不变.
    \item Wigner定理也可以换一种说法:
          "微观力学体系之间如果是物理上完全等价的,充要条件是在它们之间以一个幺正(反幺正)变换相联系。"
    \item 要补充指出，在幺正变换下，原先表象的任何代数关系形式都不变；
          而在反幺正变换下,原先表象的任何代数关系中的常数均应代以相应复数共轭数.
          特别地,基本对易规则中的$\mathrm{i} \hbar$应代以$-\mathrm{i} \hbar$ 。
    \item 证明中用到$c_1\neq0$似乎对$|\psi\rangle$的任意性有限制,成为证明的一个漏洞.
          其实不然,因为基矢的编号是可变的,可以选定$|\psi\rangle$展开式中任何非零项为
          $c_1\left|\alpha_1\right\rangle$,再"配选"以相应的$|\varphi\rangle$
          （其中$\left|\alpha_m\right\rangle$视$|\psi\rangle$展开情况而定）即可.
\end{enumerate}

